A explicação definitiva de porque não é possível matematicamente a divisão por zero

O conceito do número "zero" era uma dor de cabeça para os matemáticos antigos, pois eles viam o "nada" como uma condição de inexistência e não como uma grandeza numérica, o que gerava dificuldades no pensamento abstrato, na álgebra e na falta de vocabulário matemático para descrevê-lo. Foi somente com o desenvolvimento do sistema numérico indiano que um verdadeiro zero matemático emergiu, revolucionando os cálculos e abrindo caminho para conceitos modernos como números negativos e cálculo.

Os pensadores antigos, particularmente os gregos, entendiam o conceito de "nada", mas não o viam como um número a ser usado em cálculos. Em vez disso, "nada" representava a ausência ou a completude de algo, como uma dívida que foi paga, e não uma grandeza em si.

O conceito abstrato de zero era considerado estranho e difícil de compreender, pois representava algo que não existia da mesma forma que outros números. A lacuna conceitual significava que não havia o vocabulário ou a compreensão necessários para tratar o zero como um número em seus sistemas matemáticos.

Sem o conceito de zero, os matemáticos antigos tinham que lidar com múltiplos casos para equações quadráticas, pois não podiam usar coeficientes negativos ou resolver cenários em que uma variável pudesse ser igual a zero.

Embora sistemas como os da Babilônia e dos maias usassem símbolos de espaço reservado para lacunas em seus sistemas numéricos, estes não eram tratados como um "zero verdadeiro" com seu próprio valor numérico e propriedades.

Matemáticos indianos, notadamente Brahmagupta, desenvolveram métodos para usar o zero como um número em cálculos, o que foi um passo revolucionário. Essa compreensão fundamental do zero forneceu a base para a álgebra moderna, os números negativos e, eventualmente, os conceitos avançados do cálculo.

Ainda assim, muitos matemáticos continuaram não gostando das propriedades únicas do zero, como o fato de nenhum número poder ser dividido por zero, uma característica que entrava em conflito com suas estruturas lógicas.

No mundo da matemática, muitos resultados estranhos são possíveis quando mudamos as regras. Mas há uma regra que a maioria de nós foi avisada para não quebrar: não divida por zero, geralmente se a explicação de porque isso é impossível.

Como a simples combinação de um número cotidiano e uma operação básica pode causar tais problemas? Normalmente, dividir por números cada vez menores resulta em respostas cada vez maiores.

Dez dividido por dois é cinco, por um é dez, por um milionésimo é 10 milhões e assim por diante. Então, parece que se você dividir por números que continuam diminuindo até zero, a resposta crescerá até o maior valor possível.
Então, a resposta para 10 dividido por zero não é, na verdade, infinito?

Isso pode parecer plausível. Mas tudo o que realmente sabemos é que, se dividirmos 10 por um número que tende a zero, a resposta tende ao infinito. E isso não é a mesma coisa que dizer que 10 dividido por zero é igual a infinito. Por que não?

Bem, vamos analisar mais de perto o que a divisão realmente significa. Dez dividido por dois pode significar: "Quantas vezes devemos somar dois para formar 10?" ou "duas vezes o que é igual a 10?".

Dividir por um número é essencialmente o inverso de multiplicar por ele, da seguinte maneira: se multiplicarmos qualquer número por um dado número x, podemos perguntar se há um novo número pelo qual possamos multiplicar depois para voltar ao ponto de partida. Se houver, o novo número é chamado de inverso multiplicativo de x.

Por exemplo, se você multiplicar três por dois para obter seis, poderá então multiplicar pela metade para retornar a três. Portanto, o inverso multiplicativo de dois é um meio, e o inverso multiplicativo de 10 é um décimo.

Como você pode notar, o produto de qualquer número e seu inverso multiplicativo é sempre um. Se quisermos dividir por zero, precisamos encontrar seu inverso multiplicativo, que deve ser um sobre zero.

Este teria que ser um número tal que, multiplicando-o por zero, resultasse um. Mas, como qualquer coisa multiplicada por zero ainda é zero, tal número é impossível, então zero não tem inverso multiplicativo. Mas isso realmente resolve as coisas?

Afinal, matemáticos já quebraram regras antes. Por exemplo, por muito tempo, não existia a raiz quadrada de números negativos. Mas então os matemáticos definiram a raiz quadrada de menos um como um novo número chamado i, abrindo um novo mundo matemático de números complexos.

Então, se eles conseguem fazer isso, não poderíamos simplesmente inventar uma nova regra, digamos, que o símbolo infinito significa um sobre zero, e ver o que acontece?

Vamos tentar, imaginando que ainda não sabemos nada sobre infinito. Com base na definição de um inverso multiplicativo, zero vezes infinito deve ser igual a um. Isso significa que zero vezes infinito mais zero vezes infinito deve ser igual a dois.

Agora, pela propriedade distributiva, o lado esquerdo da equação pode ser reorganizado para zero mais zero vezes infinito. E como zero mais zero é definitivamente zero, isso se reduz a zero vezes infinito.

Infelizmente, já definimos isso como igual a um, enquanto o outro lado da equação ainda nos diz que é igual a dois. Então, um é igual a dois?Ferrou tudo!

Estranhamente, isso não está necessariamente errado; apenas não é verdade em nosso mundo normal de números.
Ainda há uma maneira de ser matematicamente válido se um, dois e todos os outros números fossem iguais a zero. Mas ter o infinito igual a zero não é, em última análise, tão útil para matemáticos, nem para qualquer outra pessoa.

Na verdade, existe algo chamado esfera de Riemann que abrange a divisão por zero por um método diferente, mas essa é uma história para contarmos em outro artigo.

Enquanto isso, dividir por zero da maneira mais óbvia não funciona tão bem. Mas isso não deve nos impedir de viver perigosamente e experimentar quebrar regras matemáticas para ver se conseguimos inventar mundos novos e divertidos para explorar.