De quantas maneiras você pode organizar um baralho de cartas?

Escolha uma carta, qualquer carta. Na verdade, basta pegar todas e dar uma olhada. O baralho padrão de 52 cartas é usado há séculos. Todos os dias, milhares de cartas iguais a ele são embaralhadas em cassinos ao redor do mundo, com a ordem reorganizada a cada vez. E, no entanto, toda vez que você pega um baralho bem embaralhado, é quase certo que esteja segurando um arranjo de cartas que nunca existiu antes em toda a história. Como isso pode ser possível?

A resposta está em quantos arranjos diferentes de 52 cartas, ou quaisquer objetos, são possíveis. Bem, 52 pode não parecer um número tão alto, mas vamos começar com um número ainda menor.

Digamos que temos quatro pessoas tentando se sentar em quatro cadeiras numeradas. De quantas maneiras elas podem se sentar? Para começar, qualquer uma das quatro pessoas pode se sentar na primeira cadeira. Uma vez feita essa escolha, apenas três pessoas permanecem em pé. Depois que a segunda pessoa se senta, restam apenas duas pessoas como candidatas à terceira cadeira. E depois que a terceira pessoa se senta, a última pessoa em pé não tem escolha a não ser sentar na quarta cadeira.

Se escrevermos manualmente todos os arranjos ou permutações possíveis, descobrimos que existem 24 maneiras de quatro pessoas se sentarem em quatro cadeiras, mas quando se trata de números maiores, isso pode levar um tempo considerável. Então, vamos ver se há uma maneira mais rápida.

Voltando ao início, você pode ver que cada uma das quatro escolhas iniciais para a primeira cadeira leva a mais três escolhas possíveis para a segunda cadeira, e cada uma dessas escolhas leva a mais duas para a terceira cadeira.

Então, em vez de contar cada cenário final individualmente, podemos multiplicar o número de opções para cada cadeira: quatro vezes três vezes dois vezes um para obter o mesmo resultado de 24. Um padrão interessante surge.

Começamos com o número de objetos que estamos organizando, quatro neste caso, e multiplicamos por números inteiros consecutivamente menores até chegarmos a um. Esta é uma descoberta empolgante. Tão empolgante que os matemáticos escolheram simbolizar esse tipo de cálculo, conhecido como fatorial, com um ponto de exclamação.

Como regra geral, o fatorial de qualquer número inteiro positivo é calculado como o produto desse mesmo número inteiro e todos os números inteiros menores, reduzido a um.

Em nosso exemplo simples, o número de maneiras pelas quais quatro pessoas podem ser dispostas em cadeiras é escrito como quatro fatorial, que é igual a 24.

Então, vamos voltar ao nosso baralho. Assim como havia quatro maneiras fatoriais de organizar quatro pessoas, existem 52 maneiras fatoriais de organizar 52 cartas.

Felizmente, não precisamos calcular isso manualmente. Basta inserir a função em uma calculadora e ela mostrará que o número de arranjos possíveis é 8,07 x 10^67, ou aproximadamente oito seguidos de 67 zeros.

Qual é o tamanho desse número? Bem, se uma nova permutação de 52 cartas fosse escrita a cada segundo a partir de 13,8 bilhões de anos atrás, quando se acredita que ocorreu o Big Bang, a escrita continuaria hoje e por milhões de anos.

Na verdade, existem mais maneiras possíveis de organizar este simples baralho de cartas do que átomos na Terra. Então, da próxima vez que for sua vez de embaralhar, reserve um momento para lembrar que você está segurando algo que pode nunca ter existido antes e que pode nunca mais existir.

E a pergunta que não quer calar é: "Quantas vezes você tem que embaralhar as cartas para que elas se misturem corretamente?"

A resposta rápida é que depende da forma como você embaralha o jogo de cartas. A forma mais comum de embaralharmos um jogo de cartas é cortar o baralho em duas pilhas aproximadamente iguais, pegar cada uma delas em uma mão e soltar as cartas com os polegares de baixo das duas pilhas alternadamente, entrelaçando-os. É o que se conhece como mix americano.

Em 1955, um relatório técnico escrito por um matemático dos Laboratórios Bell, Edgar Gilbert, delineou o primeiro modelo matemático de como as cartas deveriam ser embaralhadas para serem misturadas aleatoriamente.

O número de vezes que as cartas devem ser embaralhadas para que uma ordem verdadeiramente aleatória ocorra era desconhecido até que Persi Diaconis, um matemático da Universidade de Stanford, especializado em coincidências (e ex-mágico), o investigou.

Usando teorias de análise estatística e de probabilidade, Persi transformou o conceito original dos Laboratórios Bell em um novo modelo que foi testado por meio de simulações de computador que embaralharam jogos de cartas virtuais bilhões de vezes e depois analisaram os resultados

No vídeo que ilustra este artigo, Persi explica quantas vezes você precisa embaralhar usando três métodos comuns e a matemática por trás dos números que ele fornece.

O resultado foi que embaralhar um jogo de cartas exige convenientemente uma média de sete embaralha mentos americanos ou em "ponte" (primeira foto). Qualquer coisa acima não causa mais efeito de aleatoridade. Muito mais do que se suspeitava até então.

Se você embaralhar um jogo de cartas e pedir a um amigo para adivinhar qual será a primeira carta que você virar, a chance dele de acertar é de 1/52, já que existem 52 cartas possíveis. Se você fizer o mesmo com a segunda carta, as chances dele aumentam: 1/51. Se ele tiver uma memória muito boa, o número de cartas que seu amigo poderá acertar é cerca de 4,5 no baralho.