 | Uma folha de papel padrão tem cerca de 0,1 milímetros de espessura. No papel (literalmente), dobrá-la 27 vezes criaria uma pilha com cerca de 13,4 quilômetros de comprimento, consideravelmente mais alta que o Monte Everest, e apenas 15 dobras adicionais aumentariam sua espessura teórica para cerca de 440.000 quilômetros, além da distância média entre a Terra e a Lua. O único problema: o experimento é fisicamente impossível. Mas os números comprovam isso, porque é matematicamente correto. |
Uma folha de papel padrão tem cerca de 0,1 milímetros de espessura. No papel (literalmente), dobrá-la 27 vezes criaria uma pilha com cerca de 13,4 quilômetros de comprimento, consideravelmente mais alta que o Monte Everest, e apenas 15 dobras adicionais aumentariam sua espessura teórica para cerca de 440.000 quilômetros, além da distância média entre a Terra e a Lua. O único problema: o experimento é fisicamente impossível. Mas os números comprovam isso, porque é matematicamente correto.
O experimento ajuda a visualizar um dos fenômenos com os quais nossa intuição mais tem dificuldade: o crescimento exponencial.
O que é extraordinário em toda essa história é que uma estudante do ensino médio levou essa questão muito além do que parecia possível no mundo real e acabou provando que nem mesmo o suposto limite de sete ou oito dobras era exatamente verdadeiro.
A folha e o Monte Everest. O ponto de partida parece insignificante: uma folha comum tem cerca de um décimo de milímetro de espessura. Quando dobrada uma vez, passa a ter 0,2 mm, depois 0,4 mm, depois 0,8 mm, e assim por diante, porque cada nova dobra duplica toda a espessura acumulada anteriormente.
A fórmula é simples:0,1 mm multiplicado por 2 elevado ao número de dobras, mas seus resultados logo deixam de parecer intuitivos: após 20 dobras, a pilha teria cerca de 105 metros de comprimento e, após 24, ultrapassaria um quilômetro.
Um efeito desconcertante com apenas três dobras. Com 24 dobras, teríamos aproximadamente 1,68 quilômetros de papel; com 25, cerca de 3,36 quilômetros; e com 26, em torno de 6,71 quilômetros, ainda menos que os 8.848,86 metros do Monte Everest. Apenas mais uma dobra é suficiente para mudar completamente a escala: a 27ª dobra aumenta a espessura para aproximadamente 13,42 quilômetros.
Essa última dobra, por si só, acrescenta mais 6,71 quilômetros, exatamente o mesmo que tudo o que foi acumulado durante os 26 quilômetros anteriores, e aí reside a chave para entender por que nossa intuição começa a falhar.
A parte mais estranha vem a seguir. Uma vez atingidos esses 13,4 quilômetros, é razoável imaginar que alcançar a Lua exigiria centenas ou milhares de dobras adicionais, mas apenas 15 são necessárias. Com 40 dobras, a espessura teórica é de cerca de 110.000 quilômetros, com 41 chega a aproximadamente 220.000 quilômetros e com a 42ª salta para cerca de 439.800 quilômetros.
A distância média entre a Terra e a Lua é de cerca de 384.400 quilômetros, portanto, uma folha hipotética de 0,1 mm dobrada 42 vezes teria espessura suficiente para ultrapassá-la.
A explicação reside numa armadilha mental. O problema não está na matemática, mas na nossa tendência de imaginar progressões exponenciais como se fossem lineares. Após dez dobras, por exemplo, a folha teria 1.024 camadas e uma espessura de cerca de dez centímetros. Outras dez dobras não acrescentam simplesmente mais dez centímetros, mas aumentam o número de camadas para 1.048.576 e a espessura para aproximadamente 105 metros.
É o que os pesquisadores chamam de "viés de crescimento exponencial": tendemos a subestimar sistematicamente processos nos quais uma quantidade é multiplicada repetidamente em vez de aumentar em incrementos constantes.
Um problema impossível de resolver na prática. A viagem à Lua é um experimento matemático, não algo que possa ser fisicamente realizado com papel. Cada dobra torna o pacote simultaneamente mais grosso e menor, enquanto a curvatura necessária para a próxima dobra exige quantidades cada vez maiores de material.
Numa folha A4 padrão, conseguir até oito dobras é extraordinariamente difícil, circunstância que durante muito tempo alimentou a crença popular de que nenhum papel podia ser dobrado ao meio mais de sete ou oito vezes.
A estudante e o quilômetro de papel. Em 2002, Britney Gallivan , então estudante do ensino médio na Califórnia, recebeu um desafio acadêmico: dobrar algo ao meio 12 vezes. Após inúmeras tentativas frustradas com folhas de papel, jornais e outros materiais, ela concluiu que o problema poderia ser resolvido matematicamente e desenvolveu equações para calcular a quantidade de papel necessária, dependendo de sua espessura e de como era dobrado.
Por fim, ele usou uma tira contínua de papel de seda com cerca de 1.219 metros de comprimento, e depois de cerca de oito horas de trabalho, conseguiu dobrá-la ao meio 12 vezes.
Britney explicou a chave. Suas equações mostraram que o obstáculo não era um misterioso limite de sete vezes, mas a geometria do próprio papel e, especialmente, a curvatura necessária para envolver um pacote que se torna progressivamente mais espesso.
Beitney explicou que dobrar repetidamente na mesma direção para obter números cada vez maiores exige enormes quantidades de material, razão pela qual ela precisou de uma tira com mais de um quilômetro de comprimento para conseguir 12 dobras.
Seu feito transformou um problema aparentemente trivial do ensino médio em uma demonstração física da diferença entre saber que algo é duplicado e realmente entender o que significa duplicá-lo repetidamente.
E a Lua não é apenas a ponta do iceberg. Se ignorássemos completamente as limitações físicas e continuássemos dobrando uma folha de 0,1 mm, 50 dobras produziriam uma espessura teórica de cerca de 112,6 milhões de quilômetros, e 51 dobras atingiriam aproximadamente 225 milhões de quilômetros, o suficiente para exceder os cerca de 150 milhões de quilômetros que separam a Terra do Sol, em média.
Com cerca de 69 dobras, entraríamos na escala de anos-luz, e com pouco mais de cem, os valores seriam comparáveis ao tamanho do universo observável.
Obviamente, muito antes disso o modelo teria deixado para trás qualquer possibilidade física, mas precisamente essa impossibilidade nos permite visualizar a ideia central: ir de um décimo de milímetro a ultrapassar o Everest requer 27 duplicações e, uma vez lá, bastam mais 15 para também ultrapassar a Lua. Incrível... e matematicamente real.
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